电子气体的简并压奈何样合计？《张背阴的物理课》推导钱德拉塞卡极限

原问题 ：电子气体的电气导钱德拉简并压奈何样合计 ？《张背阴的物理课》推导钱德拉塞卡极限

品质不太大的恒星演化末期会酿成甚么？白矮星靠甚么抵御引力的缩短？电子气体的简并压源头于甚么？奈何样估算白矮星的半径 ？为甚么需要思考电子气体的相对于论效应
 ？奈何样推导出白矮星的钱德拉塞卡极限？10月14日14时，《张背阴的简并极限物理课》第一百七十九期开播，搜狐独创人  、压奈阴董事局主席兼CEO 、何样合计物理学博士张背阴兼着重庆大学，张背带来了一场恒星末日相关的物理主题演讲  。

张背阴先教学了恒星的课推演化历程，介绍了白矮星若何在电子气体简并压的电气导钱德拉帮手下抵御住引力的缩短 ，从而估算出白矮星的简并极限半径，最后在思考了相对于论电子气体简并压的压奈阴情景下推导出了钱德拉塞卡极限。

简述恒星的何样合计末年 借助流体静失调方程估算白矮星中间压强

在以往物理直播课中，张背阴就介绍过恒星在其寿命末期会爆发甚么。张背恒星在末期艰深都市爆发爆炸，物理从而抛洒出大批的课推物资。假如记恒星最后的电气导钱德拉残余品质为M，那末当M小于1.44倍太阳品质时，恒星末年会坚持在白矮星形态 。在白矮星外部
，大部份电子都被电离进去了，而由于核子电荷的屏障熏染，电子以及电子之间简直不相互熏染 ，从而组成事实电子气体  。正是电子气体的压强使患上白矮星可能抵御引力的缩短。

当M大于1.44倍太阳品质且小于3倍太阳品质时，恒星最后会成为中子星。假如M大于3倍太阳品质
，那末恒星会成为比中子星更致密的星体（好比还存在于假如阶段的夸克星）致使会酿成黑洞。在这次直播课中，张背阴将合成近零温电子气体的压强以及估算白矮星中间处的压强 ，最后推导出白矮星的品质下限
，也便是钱德拉塞卡极限。

形貌星球外部压强的方程是流体静失调方程
 。在星球外部取一个底面积是dS ，高是dr的柱状微元，柱状微元的母线与星球的径向平行 ，微元到星球中间的距离是r。在径向倾向，微元受到三个力的熏染
：星球外部物资对于微元的引力 、微元高下底面受到的压力
。

另一方面，平均球壳不会对于其外部质点有引力熏染 ，因此微元受到的引力只源头于半径小于r处的物资 。设距离中间r处的密度为ρ(r) ，距离中间小于r的物资总品质为M(r)，微元上底面压强是(P+dP)，下底面压强是P，取沿径向指向外的倾向为正方面 ，前述三个力知足的失调条件为

重大运算一下可能将上式化简为

消去dS，并写成导数方式可患上

这便是星球的流体静失调方程 ，其中的压强展现星球处于静失调时的压强 。假如星球外部物资所提供的压强小于这个方程给进去的压强，那末这个星球会被引力进一步缩短；假如外部物资提供的压强盛于这个方程给进去的压强 ，那末这个星球会坚持引力的缩短而向外缩短 。

假如白矮星半径为R，在白矮星概况 
，由于不外部的力压迫星球概况物资，因此概况的压强P(R)=0。当半径r趋向于零时 ，物资密度ρ(r)趋向于白矮星中间密度ρ(0)，由于白矮星外部物资不被有限缩短，因此ρ(0)是一个有限值 。当r颇为挨近零时，有

以是当r趋向于零时有

这剖析压强随半径变更的曲线在r=0处的切线是平行于r轴的 。换言之，随着半径r从零变更到R  ，压强从一个有限值P(0)飞快着落了一小段 ，而后再较快捷果真降到0 。假如白矮星中间处的压强为Pc
，接管线性类似 
，可能患上到

另一方面
 ，凭证流体静失调方程，有

对于密度平均的星球，M(R/2)会即是M/8。可是 ，星球的密度艰深不是平均的 ，而是内大外小，因此M(R/2)每一每一大于M/8。在这里 ，将M(R/2)估算为M/3，并将ρ(R/2)估算为白矮星的平均密度，于是上式可能类似为

与前面的服从散漫可能患上到

化简即患上

这是白矮星中间处压强的估算值
，惟独在白矮星处于失调形态的时候才建树。前面也提到了 ，白矮星外部由电子气体的压强来抵抗引力缩短。假如白矮星中间处的电子气体压强小于上式给出的压强
，那末这个白矮星会被引力进一步缩短；假如白矮星中间处的电子气体压强盛于上式给出的压强，那末白矮星将会在过大的电子气体压强的熏染下缩短。惟独在电子气体压强即是静失调方程给出的压强时，白矮星才会坚持失调。

从有限深势阱中的粒子动身 合成患上到电子气体简并压

为了患上到电子气体简并压，需要合成电子气体的物态方程。物态方程由物资的宏不雅量（体积、温度、压强等）给出，是不依赖于物资所处的容器的
 。好比事实气体，可能在方形盒里边推导事实气体的物态方程，这样患上到的物态方程适用于处于任何容器的事实气体 。同样，可能在无穷深方模式阱里边推导电子气体的物态方程 ，将其用到白矮星外部的电子气体中 。

电子是费米子，知足泡利不相容道理，因此纵然不思考热激发，电子都不会全副处于最低能级，而是从最低能级不断往更高的能级“垒下来”
，直到所有电子都被部署竣事。由于电子自旋可能取两个差距的值 ，因此电子能级的简并度为2，换言之，每一个能级着实可能放下两个电子，再多的电子就会破损泡利不相容道理了 。

在不思考热激发的情景下（也便是零温情景下），电子会挨次从最低能级往高能级排布 ，直到所有电子都被排布竣事。由于白矮星外部电子着实太多了 ，需要排布到很高能级能耐把电子排布完。当温度大于0开尔文时，这些电子中的一部份就会被激发到更高的能级 ，热激发导致单个电子多进去的能量约为k_B*T量级 ，这里的k_B是玻尔兹曼常数 。

尽管白矮星外部温度很高，可是这部份热激发能量与电子在零温时排布的最高能级比起来仍是很重大，因此白矮星外部的电子气体残缺可能被当成零温的来处置 。

张背阴在以往物理直播课中介绍过处于一维无穷深势阱的粒子的第n阶能级的波函数为

其中k=nπ/L ，响应的能级为

对于三维方形无穷深势阱，响应的能级为

其中ex ，ey，ez分说是直角坐标系的三个基矢，nx、ny
、nz是三个量子数，只能取正整数值。

气体的压强的宏不雅源头是粒子对于容器壁的碰撞
，电子气体的压强源头也是相似的
。由于压强是各向异性的 ，因此可能经由火析恣意倾向的面在单元光阴内所受到的粒子碰撞力来求出压强。假如容器壁垂直于x轴，电子气体处在x负倾向那一侧，在x倾向具备速率份量vx>0的电子能耐碰着这块容器壁 ，碰撞之后x倾向的速率重量酿成为了-vx ，因此这个电子的动量修正量为

式中的m_e是电子品质 。设具备速率份量vx的电子数密度为n_{ vx}，容器壁面积为A
，那末单元光阴内碰撞到这块容器壁的具备速率份量vx的电子数为

这些电子提供给容器壁的压力为

将这些力加在一块，而后除了以面积A即可患上到压强：

其中v_x^2上的一横展现平均值 ，n是电子数密度 。思考到各向异性，可能患上到

于是

上式最后一步运用了动量与k的关连p=ℏk以及动量与v的关连 。

凭证三维有限深方模式阱的粒子能级 ，可能知道在k空间的第一象限 ，每一个能级对于应于巨细为(π/L)^3的体积，因此有

其中的因子2源头于电子的自旋，除了以总粒子数N=nL^3就对于应于平均操作，式中的k0是从最低能级向上挨次排布完所有电子后所对于应的最大的k。将上式代入压强公式可患上

接下来还需要求出k0 。由于k0是从最低能级向上挨次排布完所有电子后所对于应的最大的k，因此可能经由在k空间积分求出排布到k0时总电子数：

由此可患上k0为

将k0的表白式代入压强表白式可患上

这便是电子气体在近零温的情景下的压强 ，它与电子数密度的5/3次方成正比，与电子品质成正比。

电子气体简并压与引力失调 估算白矮星半径

接下来合成需要将电子气体的简并压用白矮星的品质、半径展现进去。从这里开始，将白矮星静失调所需的中间压强记为Pg，白矮星中间处的电子气体压强记为Pd，凭证前面的合成，有

假如白矮星中间处的电子数密度是平均电子数密度的α倍 。由于白矮星的密度是内大外小的，以是张背阴假如α=4 。实际上，假如接管线性类似的话，中间数密度简直偏偏即是平均数密度的4倍 
，因此α=4是一个很公平的假如 。

由于恒星在成为白矮星之后氢燃料被破费患上所剩无多少了 ，白矮星外部大部份都是重核，其质子数以及中子数基底细等。由于电子数与质子数至关，因此电子数密度约即是核子数密度的一半
，以是，白矮星中间处的电子数密度为

将其代入电子气体的简并压公式，可能患上到中间处电子简并压为

又由于

以是有

当品质M牢靠时 ，Pg随半径R的四次方衰减
，而Pd随半径的5次方衰减。简略知道，不论品质M取何值 ，Pg与Pd两者对于R的曲线存在一个交点，对于应半径R0，如下图所示：

当RPg
，换言之，中间处的电子简并压大于坚持流体静失调所需的中间压强 ，因此这个白矮星会被电子简并压推着往外缩短，从而R会变大；当R>R0时，Pd

从这里的合成可能知道，白矮星最终会晃动在R=R0处  ，因此Pg与Pd两曲线交点对于应的半径R0便是白矮星的半径，由Pd与Pg的表白式可患上R0知足的条件为

以是

这便是白矮星半径的估算值。将一个太阳品质以及α=4代入上式 ，可能知道此品质的白矮星半径约为10km 。

思考相对于论电子气体 推导钱德拉塞卡极限

凭证前面的合成，不论白矮星品质M即是多少多，白矮星都能晃动存在，这清晰是不同过错的 。下场出在哪里呢 ？张背阴见告巨匠说，下场出在前面合计电子气体压强时不思考电子的相对于论效应 。电子气体的压强本性上是电子对于容器壁的碰撞所导致的力的天气。在同样的动量巨细下 ，碰撞粒子数越多，所展现进去的压强越大。

可是 ，碰撞频率正比于粒子速率  ，而在相对于论的情景下，由于粒子质质变大了
 ，以是具备特定动量的粒子所对于应的速率是小于牛顿力学情景下的具备相革命量的粒子所对于应的速率的，因此在相革命量情景下，用牛顿力学来合计的粒子碰撞频率高于用相对于论来合计的碰撞频率，最终就会导致用牛顿力学合计进去的压强偏大 。

为甚么需要思考电子的相对于论效应呢？这是由于当白矮星被缩短患上很小时，电子密度很大，从而电子在k空间聚积进去的1/8球体的半径k0会变患上很大
，换言之其中有大批的电子具备颇为高的速率，以是必需在狭义相对于论的框架内思考这个下场 
。

在以往直播课中张背阴已经经由克莱恩-高登方程剖析了相对于论性粒子的k空间与非相对于论天气相同 ，仅有的差距便是相对于论天气的电子品质将依赖于k ，因今前面临电子气体的表白式需要改写为

凭证质能关连 ，咱们有

由此可患上

以是

假如思考极审察对于论天气 ，此时k0颇为大 ，因此式中k比力小的部份对于积分的贡献可能漠视不记
，惟独思考k很大的那部份 ，此时被积函数的分母可能类似为k，这样的话就能患上到

一再非相对于论天气时的合成
，可能估算患上到中间处的电子简并压为

需要夸张的是，由于前面运用了k0远大于a这个类似条件，以是这个款式只在R很小的时候才建树，它展现的是在品质M坚持牢靠时，半径R趋向于0时白矮星中间处的电子简并压的变更情景
。

对于R比力大的时候，k0远大于a这个条件再也不建树 。特意的是 ，当R很大时 ，电子数密度n很小
，这时候电子气体进化成非相对于论电子气体，其简并压知足的是正比于1/(R^5)的关连 。将这里的品评辩说总结起来便是：

而不论R是大仍是小 ，坚持白矮星失调所需的中间压强都是

假如在R比力小的时候
，Pg小于Pd，当R变大之后 ，Pd先以1/(R^4)的速率着落，而后以1/(R^5)的速率着落，而Pg坚持以1/(R^4)的速率着落，最终Pd必小于Pg
，因此在压强-半径坐标系上，Pd与Pg曲线确定相交 ，这样的话白矮星可能坚持失调，失调点就对于应着Pd与Pg曲线交点 。

假如在R比力小的时候 ，Pg大于Pd ，当R变大之后
，Pd先以1/(R^4)的速率着落，而后以1/(R^5)的速率着落，Pg坚持以1/(R^4)的速率着落
，可见Pg曲线永世在Pd曲线上方，它俩不相交点（如下图所示），因此不论半径为多少多，电子简并压都无奈提供饶富的压强抵抗白矮星塌缩。

曩昔面的服从可能看到，Pd正比于M^{ 4/3} ，Pg正比于M^2，因此当M增大时 ，统一个R下的Pg削减速率大于Pd的削减速率 。因此 ，惟独M饶富大 ，Pg将会大于Pd，于是这个品质对于应的白矮星将无奈晃动存在
。那白矮星的临界品质是多少多呢？临界品质对于应于Pg偏偏即是Pd时的品质 ，换言之

由此可能患上到临界品质知足

代入相关数值，可患上

这便是钱德拉塞卡极限，约莫是1.5倍的太阳品质。这里的服从是类似患上到的，因此与实际服从存在一点差距。精确合计的服从表清晰矮星品质下限约莫是1.44个太阳品质
 。

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